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隐函数的导数是什么意思(隐函数及隐函数的导数)

100次浏览     发布时间:2024-10-09 10:38:37    

一、显函数与隐函数

函数是由两个变量之间的对应关系,这种对应关系可以用不同的方式表达,之前我们讨论是显函数,例如: y=e^x,y=ln x,y=x^a等,特点就是用自变量的一个表达式来表示,当自变量取定义域内一值是,由这个表达式确定对应的函数值,用这种方式表示的函数为显函数。

但有时变量x和y之间的对应关系由一个方程F(x,y)=0 z在该区间内确定了一个y关于x的隐函数,例如: 2x-y^3+6=0, e^xy+cos xy-3=0, ln y-ln x^y+6=0等,当自变量x在(-∞,+∞)内取值时,连续函数 2x-y^3+6=0,变量y=(6+2x)^(1/3)与它对应,因此,该方程,在 (-∞,+∞)内确定一个隐函数。

把一个隐函数化成显函数,称为隐函数的显化,例如 2x-y^3+6=0可以化为 y=(6+2x)^(1/3),隐函数的显化有时困难,甚至是不可能的,例如 e^xy+cos xy-3=0, ln y-ln x^y+6=0等。隐函数的表达式中常含有变量x和y,这是由y所确定的隐函数。


二、隐函数的导数

隐函数的导数是通过方程两端,对自变量求导得到了隐函数的导数,也可以用微分形式不变形。

例1: x e^y-2y+6=0, 方程两端求导,e^y+x y' e^y-2y'=0

整理得y'=e^y /(2-x e^y)

隐函数的导数的求法:两段对x求导,遇y求导,把y看成x的复合函数,乘y'。

隐函数的二阶导数:再对y'求一次导数,把含有y'的位置,把y' 的式子代入化简,整理得到y''

例如:求例1的二阶导数, y''=(e^y y'(2-x e^y)-e^y (e^y+x y' e^y))/(2-x e^y) ^2,整理得 y''=(e^y (e^y /(2-x e^y))(2-x e^y)-e^y (e^y+x (e^y /(2-x e^y)) e^y))/(2-x e^y)

三、隐函数及隐函数的导数的应用

隐函数在几何中应用广泛,会遇到一些切面和切线,无法使用显函数来表示,此时,需要用隐函数求导方法,来求解隐函数上的切线方程、法线方程等几何性质。

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